ブラウザでの表示と違うのはなぜ？

このツールのサーバーが、Cookieもセッションも持たずにアクセスするためです。サイトによってはクライアントごとに異なる内容を返します。

自分のサイトも調べられますか？

公開URLであれば調べられます。プライベートアドレスや認証必須のサービスは対象外です。

違います。ソースはHTML本体で、ここで見えるのは応答のメタ情報です。

サーバー側からURLへアクセスし、ステータスコード、応答ヘッダー、リダイレクトの連なりを表示します。キャッシュ設定、セキュリティ、Content-Type、不要な多段リダイレクトの確認に使えます。

1https://を含む完全なURLを入力します。
2ステータスコードを確認します。200は正常、301と302は転送、404と5xxはエラーです。
3Strict-Transport-Security、Content-Security-Policy、X-Content-Type-Optionsなどのセキュリティヘッダーを見ます。

HSTSはHTTPSを強制し、CSPは読み込めるリソースを制限、X-Frame-Optionsはクリックジャッキングを防ぎ、Cache-Controlは保存期間を決めます。設定されていないことは珍しくなく、直ちに誤りとは限りません。

1回の転送ごとに遅延が増え、正規URLが崩れる原因にもなります。httpからhttps、www有りから無しへ多段で転送すると評価が分散します。1回の転送でまとめるのが適切です。